História da matemática
Compêndio sobre Cálculo por Completude
e Balanço de Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (cerca de 820 d.C.)
A história da matemática é uma área de
estudo dedicada, principalmente, à investigação sobre a origem das descobertas
da matemática e, em uma menor extensão, à investigação dos métodos matemáticos
e aos registros ou notações matemáticas do passado.
Anteriormente à modernidade e à
expansão mundial do conhecimento, os exemplos escritos de novos progressos
matemáticos tornaram-se conhecidos em apenas poucas localidades. Os textos
matemáticos mais arcaicos disponíveis que nos são conhecidos são o Plimpton 322
(matemática babilônica, cerca de 1900 a.C.), o Papiro Matemático de Rhind
(matemática egípcia, cerca de 2000-1800 a.C.) e o Papiro Matemático de Moscou
(matemática egípcia, cerca de 1890 a.C.). Todos estes textos versam sobre o
então chamado Teorema de Pitágoras, que parece ser o progresso matemático mais
amplamente difundido depois da aritmética básica e da geometria.
A contribuição Greco-helênica refinou
grandiosamente os métodos (especialmente através da introdução do raciocínio
dedutivo e do rigor matemático em provas) e expandiu o tema da matemática, isto
é, aquilo de que ela trata. O estudo da matemática como um tópico em si mesmo
começa no século VI a.C. com os pitagóricos, os quais cunharam o termo
"matemática" a partir do termo μάθημα (mathema) do grego antigo,
significando, então, "tema do esclarecimento"[4]. A matemática
chinesa fez contribuições já muito cedo, incluindo o sistema de notação
posicional. O sistema numérico indo-arábico e as regras para o uso de suas
operações, atualmente em uso no mundo todo, foi provavelmente desenvolvido em
torno da virada do primeiro milênio d.C. na Índia e transmitido ao Ocidente
através da matemática islâmica . A matemática islâmica, por sua vez,
desenvolveu e expandiu a matemática conhecida destas civilizações. Muitos
textos gregos e árabes sobre matemática foram então traduzidos ao latim, o que
contribuiu com o desenvolvimento da matemática na Europa medieval.
Dos tempos antigos à Idade Média, a
eclosão da criatividade matemática foi frequentemente seguida por séculos de
estagnação. Começando na Itália Renascentista, no século XVI, novos progressos
da matemática, interagindo com as novas descobertas científicas, foram
realizados de forma crescente, continuando assim até os dias de hoje.
Pré-história da matemática
A origem do pensamento matemático jaz
nos conceitos de número, magnitude e forma . Estudos modernos da cognição
animal mostraram que tais conceitos não são unicamente humanos. Eles teriam
sido parte da vida cotidiana de sociedades de indivíduos caçadores-coletores.
Ademais, que o conceito de número tenha se desenvolvido paulatinamente ao longo
do tempo, isto fica evidente com o fato de que algumas línguas atuais preservam
a distinção entre "um", "dois" e "muitos", mas
não em relação a números maiores do que dois.
O objeto matemático reconhecido como
possivelmente o mais antigo é o osso de Lebombo, descoberto nos Montes
Libombos, na Suazilândia, e datado de aproximadamente 35000 anos a.C . Tal osso
consiste em 29 entalhes feitos em uma fíbula (ou perônio) de um babuíno. Também
foram descobertos artefatos pré-históricos na África e na França, datados de
entre 35000 e 20000 anos atrás, os quais sugerem tentativas arcaicas de
quantificação do tempo. No livro How Mathematics Happened: The First 50,000
Years (sem versão em português), por exemplo, Peter Rudman argumenta que o
desenvolvimento do conceito de números primos apenas pôde ter surgido depois do
conceito de divisão, a qual é por ele datada de após 10000 a.C., sendo que os
números primos provavelmente não eram entendidos até em torno de 500 a.C. Ele
também escreve que "não foi feita nenhuma tentativa de explicar por que
razão uma talha de alguma coisa deve apresentar múltiplos de dois, números
primos entre 10 e 20 e alguns números que são quase múltiplos de 10.".
O osso de Ishango, descoberto perto das
cabeceiras do Rio Nilo (Congo do nordeste), pode possuir algo como 20000 anos
de existência e consiste em uma série de talhas marcadas em três colunas ao
longo do comprimento do osso. As interpretações mais habituais a respeito de
tal osso dizem que ele mostra ou a mais antiga demonstração conhecida de
sequências de números primos ou então um calendário lunar de seis meses. Há
também egípcios do período pré-dinástico do quinto milênio a.C. que
representaram pictoricamente as figuras geométricas. Além disso, reivindica-se
que os monumentos megalíticos presentes na Inglaterra e na Escócia, datados do
terceiro milênio a.C., incorporam em suas formas ideias tais como a de círculo,
a de elipse e os triplos pitagóricos.
ORIGEM DOS NÚMEROS NEGATIVOS
O número é um conceito fundamental em
Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e
formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se
nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem,
por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o
desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao
aparecimento do conceito de número Natural.
Todas as nações que desenvolveram
formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um
sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número
prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os
números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses
estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os
números positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a
ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos
indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo
para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de
Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se
pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas
através dos teoremas gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) =
ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas
sobre números negativos e positivos.
Diofanto (Séc. III) operou facilmente
com os números negativos. Eles apareciam constantemente em
cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no
entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores
inteiros negativos como por exemplo:
4 = 4x +20
3x -18 = 5x^2
Nestas situações Diofanto limitava-se a
classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos
europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos
seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto
seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos
como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano
usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A
situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação
geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções
opostas.
Demonstração da regra dos sinais
(segundo Euler)
Euler, um virtuoso do cálculo
como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como manejava
os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas
construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais.
Consideremos os seus argumentos:
1- A multiplicação
de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de
a escudos é uma dívida de 3a escudos, logo (b).(-a) = -ab.
2- Por
comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma
quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa.
3- Resta determinar
qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é
ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é
-ab, só resta como única possibilidade que (-a).(-b) = +ab.
É claro que este tipo de argumentação
vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como Stendhal, não
pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não
consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo,
este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos
suficientes para justificar estes resultados aceitalvelmente. Na mesma obra de
Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas
uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal -
(menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades
menores que zero.
ORIGEM DO
ZERO
Embora a grande invenção prática do
zero seja atribuída aos hindus, desenvolvimentos parciais ou limitados do
conceito de zero são evidentes em vários outros sistemas de numeração pelo
menos tão antigos quanto o sistema hindu, se não mais. Porém o efeito real de
qualquer um desses passos mais antigos sobre o desenvolvimento pleno do
conceito de zero - se é que de fato tiveram algum efeito - não está claro.
O sistema sexagesimal babilônico usado
nos textos matemáticos e astronômicos era essencialmente um sistema posicional,
ainda que o conceito de zero não estivesse plenamente desenvolvido. Muitas das
tábuas babilônicas indicam apenas um espaço entre grupos de símbolos quando uma
potência particular de 60 não era necessária, de maneira que as potências exatas
de 60 envolvidas devem ser determinadas, em parte, pelo contexto. Nas tábuas
babilônicas mais tardias (aquelas dos últimos três séculos a.C.) usava-se
um símbolo para indicar uma potência ausente, mas isto só ocorria no interior
de um grupo numérico e não no final. Quando os gregos prosseguiram o
desenvolvimento de tabelas astronômicas, escolheram explicitamente o sistema
sexagesimal babilônico para expressar suas frações, e não o sistema egípcio de
frações unitárias. A subdivisão repetida de uma parte em 60 partes menores
precisava que às vezes “nem uma parte” de uma unidade fosse envolvida, de modo
que as tabelas de Ptolomeu no Almagesto (c.150 d.C.) incluem o símbolo ou
0 para indicar isto. Bem mais tarde, aproximadamente no ano 500, textos gregos usavam
o ômicron, que é a primeira letra palavra grega oudem (“nada”).
Anteriormente, o ômicron, restringia a representar o número 70, seu valor no
arranjo alfabético regular.
Talvez o uso sistemático mais antigo de
um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática
dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para
indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base
vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para
registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais.
É possível que o mais antigo
símbolo hindu para zero tenha sido o ponto negrito, que aparece no manuscrito
Bakhshali, cujo conteúdo talvez remonte do século III ou IV d.C., embora alguns
historiadores o localize até no século XII. Qualquer associação do pequeno
círculo dos hindus, mais comuns, com o símbolo usado pelos gregos seria apenas
uma conjectura.
Como a mais antiga forma do símbolo
hindu era comumente usado em inscrições e manuscritos para assinalar um espaço
em branco, era chamado sunya, significando “lacuna” ou “vazio”.
Essa palavra entrou para o árabe como sifr, que significa “vago”.
Ela foi transliterada para o latim como zephirum ou zephyrum por
volta do ano 1200, mantendo-se seu som mas não seu sentido. Mudanças
sucessivas dessas formas, passando inclusive por zeuero, zepiro ecifre, levaram
as nossas palavras “cifra” e “zero”. O significado duplo da palavra “cifra”
hoje - tanto pode se referir ao símbolo do zero como a qualquer dígito - não
ocorria no original hindu.
ORIGEM DOS SINAIS
Adição ( + ) e subtração ( - )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João
Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos
ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio. Os
símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra
depois que foram usados por Robert Recorde em 1557.Os símbolos positivos
e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram
pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não.
Os antigos
matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar
a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando
queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de
operação mais usavam os algebristas italianos a letra P,
inicial da palavra latina plus.
Multiplicação ( . ) e divisão ( :
)
O sinal de X, como que indicamos a
multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred
empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado
em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a
efetuar, colocava um ponto entre os fatores. Em 1637, Descartes já se limitava
a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto
qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar
multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz.
Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: "eu não gosto
de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x;
freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto .
Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também
para a divisão."
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos
árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor. A
razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal :, que apareceu em 1657
numa obra de Oughtred. O sinal ÷, segundo Rouse Ball, resultou de uma
combinação de dois sinais existentes - e :
Sinais de relação ( =, < e > )
Robert Recorde, matemático inglês, terá
sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a
empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro,
publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões
iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu
em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal =
aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século
XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia,
por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < (
menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus
trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.